Question

三角函数为什么具有周期性？

Answer 1

函数的周期性是函数三个重要性质之一，是学习函数与解决函数问题的重要知识点，在高中数学教学中非常重要。高中数学教材中，函数周期性的定义是：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域的每个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。因为由诱导公式sin（2kπ+x）=sin x，cos(2kπ+x)=cosx(k∈Z),可知正弦函数、余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，最小正周期是2π。然后通过例题导出函数y=sin(ωx+φ)x∈R（其中A，ω，Φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T=。这个方法直接给予学生求最小正周期的方法，显得很直接、简单，但实际上学生较难接受，而且记不牢，难以运用到解题中。教学中如何将抽象的问题转化为直观的教学模式，使学生易于接受，而且便于记忆，是每个教师在教学中值得研究的问题。在教学中我多次按教材方法传授，效果均不够理想，今年面对新的学生我尝试改变这一模式，在教学中通过画出函数y=sin x(k∈Z)与y=cosx(k∈Z)的图像(即正弦曲线与余弦曲线)，让学生观察图像的变化特点，观察它的周期，学生普遍都明确正弦函数、余弦函数的一个周期可以通过图像上函数值按照一定规律不断重复出现取得的，两个点间距离就为一个最小正周期，特别是通过相邻两个取得最大值点（或最小值点）的距离，得出周期为T=2kπ,进一步得出最小正周期为T=2π。借此我进一步要求学生通过五点作图的方法，画出函数y=sin2x的图像，然后观察图像得出最小正周期为T=π，函数y=sin（3x+）的最小正周期为T=。由此让学生思考函数f(x)=A sin(ωx+φ)， x∈R（其中A，ω，Φ为常数，且A≠0，ω＞0）的最小正周期，学生就不难得出最小正周期为T=。借此告诉学生原因是f(x)=sin x x∈R的周期为2π，是因为sin(2π+x)=sin x，而f(x)=sin2x周期为π，是因为sin2(x+π)=sin2x，故得出sin(ωx+φ)的周期为T= ,学生觉得通过这一方法很易接受，反应较好。

Answer 2

三角函数具有周期性，
这和角的性质有关：
比如一个人，面朝北，当他向右旋转90°时，就面朝东方了。
如果面朝北，当他向右旋转90°时，继续旋转360°，就还是面朝东方了。
这样我们就总结一个规律：
当存在一个角α，一条射线不动，另一条射线旋转360k度，角的大小还是α，
这样我们称α+360k角的集合为终边相同的角。
由于终边相同的角的三角函数值相同，满足f（x+T）=f（x）（T最小正数存在）
所以三角函数具有周期性。
比如30°和390°终边相同，由P（x，y）确定：sin30°=sin390°=y/√（x²+y²）=1/2
其中P（√3,1）