Question

设随机变量x服从参数为1/2的指数分布,证明:Y=1-eˆ(-2x)在区间（0,1）上的均匀分布。

谢谢大家了，很着急

Answer 1

利用分布函数法，假设Y的分布函数为F(y)，则根据分布函数的定义可知
F(y)=P(Y<=y)=P(1-eˆ(-2X)<=y),由于x服从参数为1/2的指数分布,因此X可能的取值范围应该是0到正无穷。因此1-eˆ(-2X)可能的取值范围应该是[0,1]。可知当y<0时，P(1-eˆ(-2X)<=y)=0，当y>=1时，P(1-eˆ(-2X)<=y)=1。当0<=y<1时，P(1-eˆ(-2X)<=y)=P(X<=1/2ln(1-y))=y。
可知Y的分布函数即为区间（0,1）上的均匀分布的分布函数，也即Y服从均匀分布。

分布函数法是求解随机变量函数分布的主要方法，需要深入理解分布函数的定义。事实上，本题的结论也可以看做一个定理的应用：设随机变量X的分布函数为F(x),则随机变量Y=F(X)服从区间（0,1）上的均匀分布。

Answer 2

参数为λ的值应为2.
X～E(λ)(参数为λ 的指数分布)，且密度函数为f(X)=λ e^(-λ X),X>=0;f(X)=0,X<0.
Y=1-eˆ(-2X)在区间(0,1)上单调递增,值域为(1-eˆ(-2*0)，1-eˆ(-2*1))，即(0，1-1/(eˆ2)),
当o<y<1-1/(e^2)时,Y=1-eˆ(-2X)在区间（0,1）上的分布函数F(Y)=P(0<Y<y<=1-1/(e^2))
=P(0<1-eˆ(-2X)<y<=1-1/(e^2))
=P(0<X<-[ln(1-y)]/2<=1)=∫ <0,-[ln(1-y)]/2>λ e^(-λ X)dX=-e^(-λ X)|<0,-[ln(1-y)]/2>=1-(1-Y)^(λ/2)=Y=(Y-0)/(1-0)
(其中λ=2),Y=1-eˆ(-2X)在区间（0,1）上均匀分布