Question

二重积分中含边界点的一些小闭区域求和极限为零，可以略去不计？

同济高等数学第五版中关于二重积分的推导式： dσ= dxdy，书上提到在用平行于坐标中直线网线来划分区域 D，除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形区域，这句话在课本下面有个脚注，解释说这些小区域（非矩形区域即包含边界点的区域）所对应的项在求极限时，极限为0，因此这些小闭区域可以略去不计，我的问题是为什么说这些小闭区域所对应的项的极限为0，难道那些矩形区域所对应项的极限不是0吗？不要照搬答案！！

Answer 1

看时间题主高数应该都考完了吧，回答的很冗长，要是还没懂感兴趣就瞅瞅吧
正式回答之前先说一下，书上说的是这些小闭区域所对应的项的和的极限为零，不是XX时，极限为零（虽然XX时极限是0，但数学一点来说，这两句话是不一样的）。
回答：二重积分的本质是曲顶柱体的体积，也就是说这些小闭区域所对应项的和是个体积，我就拿曲顶柱体举例，见图10-1（没错，就是你手里那个绿皮儿的）
这些小闭区域都是在边界上的，它们最大的直径也是0（以下都代表无穷小，大写的零是零），所以可以说这个小闭区域内所有点所对应的函数值都能近似为边界点的函数值，它们相加的和就是以边界点的函数值（设为ai）为高、小闭区域为底（面积设为Δσi）的n多个长方体的体积的和。 其中所有的小闭区域都是矩形抠出一块剩下的图形，其面积Δσi一定是小于相对应的小矩形的面积，所以，往大了说，如果把这些小闭区域都填成矩形，然后来算相加之后体积是0，那么书上说的小闭区域的和的极限就是零。 下面是说明体积为什么是0：
边界是一条在xoy面上的圆线，包含边界点i的小矩形区域（如上，求的是矩形区域体积和）的长hi是圆线在该点的切线段的长度（等会你就知道为什么用这个，不用ΔxΔy）、宽是pi(=面积Δσi÷hi)，这个长hi乘以i点的函数值就是小矩形对应的小长方体侧面积，这些边界点处的侧面积累加就等于曲顶柱体的表面积S，因为小闭区域内最大的直径也是0，所以，所有含边界点的小矩形区域的宽pi，最大也就是0。
体积=侧面积×宽＜S乘以pmax，有限值乘以无穷小是无穷小，所以，体积＜S乘以pmax=0。
所以，blabla……你懂的

Answer 2

你说的确实对,包含了边界以及未被计入的小区域不为零,但是,按照极限的思想,可以近似的看为零,
因为这样才能求二重积分.
在取底面的小块矩形时,因为矩形时有棱有角,在封闭曲线时,难免会有小缝,所以就要用到极限思想,
把它们看做零,忽略不计.
这么说吧,积分得到都是近似的结果,在实际运用中是有误差的.

Answer 3

你没理解积分最原始的定义。在非连续点即奇点积分定义没有意义，在那个点无法确定函数值即函数值不存在，按积分定义，函数值乘以小区间的长度dxdy就没意义，那现阶段不按0处理还能怎么办？除非是学数学专业的某个方向会讲怎么处理，如果理解不了就背下来。