Question

极限的计算题

lim(x趋于0)(tanx-x)/(x^3）
答案等于3，具体怎么算呀？
麻烦知道的人写得详细些，我先谢谢啦！~
太厉害了，我确实是写错了，答案是1/3

Answer 1

注意到，x→0时，分子分母也分别趋向于零，由此考虑使用洛必达法则（分子分母分别求导），
lim(x→0)(tanx-x)/(x^3)
=lim(x→0){[(secx)^2-1]/3x^2}
=lim(x→0)(tan^2)/(3x^2)
=lim(x→0)(x^2)/(3x^2)（等价无穷小tanx~x）
=1/3
你的答案错了、、、

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>> syms a x
limit((tan(x)-x)/x^3,x,0)

ans =

1/3
这是MATLAB2009a的运算结果。。。

追问

“secx)^2-1”为啥等于“tan^2”呀？
等价无穷小么？有这个公式么？

追答

∵(secx)^2=1/(cosx)^2=[(sinx)^2+(cosx)^2]/(cosx)^2=(tanx)^2+1
∴(secx)^2-1=(tanx)^2
在x趋向于零时,x~tanx~sinx~arcsinx~arctanx~(e^x)-1..

Answer 2

解：（罗比达法则）
原式=lim(x->0)[(sec²x-1)/(3x²)] (0/0型极限，应用罗比达法则)
=lim(x->0)[(2secx*tanx)/(6x)] (0/0型极限，应用罗比达法则)
=lim(x->0)[(sec²x/3)*(sinx/x)]
=[lim(x->0)(sec²x/3)]*[lim(x->0)(sinx/x)]
=(1/3)*1 (应用重要极限lim(x->0)(sinx/x)=1)
=1/3。
注：你的答案是错误的。