Question

这道常微分题目不懂，拜托大大们详细教导一下

白线那里就开始看不太明白啦，最好给个解答过程，谢谢各位大大~（图二不是本题答案，但大致相同）

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Answer 1

可以用相同的思路。
首先看看f(0):
f(x+y)=e^xf(y)+e^yf(x),
取x=y，
f(2x)=2e^xf(x)
设x=0：f(0)=2f(0),f(0)=0;
其次，根据导数定义：
f'(x)=lim(y->0)[f(x+y)-f(x)]/y
=lim(y->0)[e^xf(y)+e^yf(x)-f(x)]/y
0/0型：洛必达,对y求导：
f'(x)=lim(y->0)[e^xf'(y)+e^yf(x)]
=e^x.f'(0)+f(x)
=e^x+f(x)
得到微分方程：
f'(x)-f(x)=e^x
齐次型：
f'(x)=f(x)
f'(x)/f(x)=1
lnf(x)=x+C
f(x)=e^(x+C)=De^x
变常数法：
f'(x)=D'e^x+De^x
D'e^x+De^x-De^x=e^x
D'e^x=e^x
D'=1
D=x+E
f(x)=(x+E)e^x
f'(x)=e^x+(x+E)e^x
f'(0)=1+E=1,E=0
f(x)=xe^x
f(x+y)=(x+y)e^(x+y)=xe^(x+y)+ye^(x+y)
=xe^x.e^y+ye^y.e^x
=e^y.f(x)+e^x.f(y)
正确。

Answer 2