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当a>0时,lim(x→0) f(x)=lim(x→0) x^a×sin(1/x)=0=f(0)。 x≠a时,f'(x)=a×x^(a-1)×sin(1/x)-x^(a-2)×cos(1/x)。
x=a时,f'(a)=lim(x→0) [f(x)-f(a)]/(x-a)=lim(x→0) x^(a-1)×sin(1/x),只有a-1>0时,继续存在,且为0。 所以a>1时,f'(a)=0。
如果f(x)在x=0处的导数连续,即lim(x→0) f'(x)=f'(0),所以,lim(x→0) x^(a-2)×cos(1/x)=0,需要a-2>0,即a>2。 所以,a>2时,f(x)在点x=0 处的导数连续。
x=a时,f'(a)=lim(x→0) [f(x)-f(a)]/(x-a)=lim(x→0) x^(a-1)×sin(1/x),只有a-1>0时,继续存在,且为0。 所以a>1时,f'(a)=0。
如果f(x)在x=0处的导数连续,即lim(x→0) f'(x)=f'(0),所以,lim(x→0) x^(a-2)×cos(1/x)=0,需要a-2>0,即a>2。 所以,a>2时,f(x)在点x=0 处的导数连续。
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