Question

求解一个全微分方程？

如图，通过 (a) (b) (c) 可知方程 (3) 的积分因子是 exp(-1/2*(x+y)^2) , 接下如何求一般解？





Answer 1

(y^2-x^2+1)dx+(y^2-x^2-1)dy=0

令P=y^2-x^2+1，Q=y^2-x^2-1
Py=2y，Qx=-2x
f(x+y)=(Qx-Py)/(Q-P)=(-2x-2y)/(-2)=x+y

令u=x+y，则f(u)=u
λ(x,y)=e^[-∫f(u)du]=e^(-∫udu)=e^[-(u^2)/2]=e^[-(x+y)^2/2]

e^[-(x+y)^2/2]*(y^2-x^2+1)dx+e^[-(x+y)^2/2]*(y^2-x^2-1)dy=0
d{e^[-(x+y)^2/2]*(x-y)}=0
e^[-(x+y)^2/2]*(x-y)=C，其中C是任意常数

追问

最后两步只能靠观察吗

追答

也是算出来的
你将e^[-(x+y)^2/2]*(y^2-x^2+1)对x作积分，就能得出来了