Question

已知f(x)在【a,b】上连续，且f(x)与xf(x)在此区间积分值都为0，求证f(x)=0在【a,b】上至少有两不等实根。

Answer 1

假设f(x)在（a，b）上恒不等于0，则f(x)在（a，b）内恒正或恒负
由
积分不等式
性质有
f（x）在（a，b）上的积分大于0或小于0.
这与f(x)在[a,b]上的
定积分
==0矛盾。故存在一点x1在（a，b）上，使f（x1）=0.
假设
f（x）在（a，b）内有一个零点x1，则
f(x)在[a,b]上的定积分
是等于f（x）在（a，x1）上的定积分
加上
f（x）在（x1，b）上的定积分
且f（x）在（a，x1）与（x1，b）每个区间内不变号。
故有
f（x）在（a，x1）上的定积分
与
f（x）在（x1，b）上的定积分
互为相反数，而且不等于0.
从而f（x）在x1两边异号，所以
g（x）=（x
-
x1）×f（x）在两边同号，即g（x）在（a，b）内除一个零点x1外恒正或恒负，由g（x）的连续性可得
g（x）在[a,b]上的定积分
不等于零。
但是
g（x）在[a,b]上的定积分
是等于
xf(x)在[a,b]上的定积分
加上
x1倍的f(x)在[a,b]上的定积分，那么
g在[a,b]的定积分等于0。
矛盾，故在（a，b）内至少存在两点m，n，使得f(x)=0
很多符号不好打出来，见谅哈

Answer 2

你好！
郭敦顒回答：
计算所予定积分：
∫【a,b】f(x)dx=F（x）|【a,b】=F（b）－F（a）=0
∴a=－b；
又∫【a,b】xf(x)dx=G（x）|【a,b】=G（b）－G（a）=0
∴a=－b。
∴在【a,b】上至少有x=a，和x=b的两个x的值。
打字不易，采纳哦！