Question

求内接于椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1,边平行于坐标轴的矩形中最大者的面积。

Answer 1

（1）
显然，矩形的中心为圆心，在四个象限内面积是相等的。
下面考虑第一象限的面积A,则所求为4A。
（2）
设矩形在第一象限的顶点为(x,y),则
A=xy
利用参数方程有
x=a*cos(t)
y=b*sin(t)
得到
A=ab*sin(t)cos(t)
=ab*sin(2t)/2
显然，当t=pi/4时，max(A)=ab/2
此时，
4A=2ab

Answer 2

设椭圆上任意一点（x,y），因为在椭圆上有对称性，所有跟（x,-y）,(-x,y),(-x,-y)四点组成了任意一个内接矩形。该矩形两个变长分别为2x和2y。所以矩形面积为4xy。4xy=2ab*[2(x/a)(y/b)]≤2ab*[(x/a)²+(y/b)²]=2ab*1=2ab
因此最大值为2ab。其中用到了一个小小的变换，还有比较定理以及椭圆定义式。