Question

初中数学面积问题

点P为等边三角形ABC内一点 PA=3 PB=4 PC=5 求三角形ABC面积

Answer 1

解答 ：
可以将三角形 绕顶点 A逆时针选 60度，使得AB与AC边重合，
p点相应 点为P'，则可看到
得到三角形pP'C；
pP'＝3；（可以知道角pAP'为等边三角形）
P'C＝pB＝4；
pC ＝5；
即可知 pP'与P'C垂直；
即角ApB ＝角AP'C＝ 90＋60 ＝150度。
在三角形ApB中 ，利用余弦定理 可得到
AB^2＝25+12*3^(1/2);

即三角形ABC的面积
S＝3^(1/2)/4*AB^2=9+25*3^(1/2)/4;

Answer 2

将△BPC绕点B逆时针方向旋转至△BDA,连DP,
显然△BDP是等边三角形,
所以DP=BP=4,
又PA=3，AD=PC=5,
AD^2=25,DP^2=16,AP^2=9，
AD^2=DP^2+AP^2
所以△ADP是直角三角形,
所以∠ADB=150°,
在△ABP中，由余弦定理，
AB^2=AP^2+BP^2-2cos150°=9+16-2*（-√3/2）=25+√3
所以△ABC面积=（1/2）*AB^2*sin60°=（1/2）*(25+√3)(√3/2)=(3+25√3)/4

Answer 3

解：设等边三角形的边长为a.则它的高为二分之根号三乘以a。它的高就是PA+PB+PC=12,(利用总面积等于各小三角形面积和）这样就可求出a=8根号3，三角形的面积=48根号3

Answer 4

角AOB=角ABC=90度,则直角三角形AOB相似于直角三角形BOC,则AO:BO=BO:OC....(1)

因为AD//BC,则AD:BC=AO:OC=1:3,

设AO=x,OC=3x,代入(1),可求出OB=根号3倍x

在直角三角形AOB中,AB=根号3,AO=x,OB=根号3倍x,由勾股定理可得x=(根号3)/2

所以AB=根号3,
AO=(根号3)/2,
OB=3/2,

OC=3OA=(3倍根号3)/2,OD=(1/3)OB=1/2

所以AC=OA+OC=2倍根号3,
BD=OB+OD=2

梯形ABCD面积=(1/2)OA*BD+(1/2)OC*BD=(1/2)*AC*BD=2倍根号3

Answer 5

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