Question

如果一个函数有反函数,它一定是单调函数吗

Answer 1

如果一个函数有反函数，而且这个函数在一个区间上是连续的（直观地说它的图像是一条连续不断的曲线），那么这个函数在这个区间上必定是严格单调的。
证明它要用一点点高等数学的知识，不过直观地想想，画个图，还是很容易看出来的。
但如果没有“连续”这个关键条件，这句话就是错的了。举个例子吧：
函数f(x)满足：
1）
f(x)
=
x（如果x是有理数）
2）
f(x)
=
-x（如果x是无理数)
它的反函数还是它本身，但它甚至不在任何一个区间上连续，也不在任何一个区间上单调。

Answer 2

是的
因为函数的定义是一个自变量对应一个函数值(即一个X对应一个Y)
函数的反函数也是函数
也得满足函数的定义
所以如果它不是单调函数的话(一个Y对应多个X)
反函数后就会出现一个自变量对应多个函数值的情况(一个X对应多个Y)
不符合函数定义
所以说如果一个函数有反函数,它一定是单调函数

Answer 3

是的，一个x与多个y相对应，反函数就必须多个y与一个x相对应，这与函数的定义相矛盾。