Question

一道高中数学三角函数题

已知：在△ABC中，角A，B，C成等差数列。
求证：1/(a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c)

Answer 1

证明：由题知：C-B=B-A，即：A+C=2B，则A+B+C=3B=180°，得B=60°。

若△ABC的三个内角A,B,C所对应的三边分别为：a、b、c，由余弦定理，得

b^2=c^2+a^2-2ca*cosB
=c^2+a^2-2ca*cos60°
=c^2+a^2-2ca*1/2
=c^2+a^2-ca

欲证等式左边：
1/(a+b)+1/(b+c)
=(a+2b+c)/(a+b)(b+c)
=(a+2b+c)/(ab+ac+b^2+bc)=3/(a+b+c)..................①

于是原题等价于证明①式成立，交叉相乘得：

3(ab+ac+b^2+bc)=(a+b+c)(a+2b+c)=(a+b+c)[(a+b+c)+b]
3(ab+ac+b^2+bc)=(a+b+c)^2+b(a+b+c)
3ab+3ac+3b^2+3bc=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca+ba+b^2+bc
整理，得
b^2=c^2+a^2-ca，............................②
于是要证:1/(a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c)成立，就等价证明②式成立。而②式已经由余弦定理证得。

所以由此倒推即得。

Answer 2

1/(a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c) ==> c/(a+b)+a/(b+c)=1 ==>
a/sinA =b/sinB =c/sinC ==> b=...
A+B+C=180, 角A，B，C成等差数列 ==> B=60 A+C=120
将a c 用b及sinA sinC代替，约去b

Answer 3

2B=A+C A+B+C=180° B=60°A=30°C=90° b=3分之根号下3 c=2a 带入算 就能得到

Answer 4

有题目知道B=60度,在用余弦定理列式化简就可以了，字不好打

Answer 5

三个角分别是30,60,90。为特殊三角形。三边比为1：根号3:2。代入计算。