判别级数∑(n=1,∝) n！/n^n 的敛散性
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利用比值判别法可判别该级数收敛。为求和，作幂级数
f(x)
=
∑{n>=0}(n+1)x^n，|x|<1，
积分，得
∫[0,x]f(t)dt
=
∑{n>=0}(n+1)∫[0,x](t^n)dt
=
∑{n>=0}x^(n+1)
=
1/(1-x)
-
1，|x|<1，
求导，得
f(x)
=
1/(1-x)^2，|x|<1。
因此，
∑{n>=0}(n+1)(1/2)^n
=
f(1/2)
=
……
f(x)
=
∑{n>=0}(n+1)x^n，|x|<1，
积分，得
∫[0,x]f(t)dt
=
∑{n>=0}(n+1)∫[0,x](t^n)dt
=
∑{n>=0}x^(n+1)
=
1/(1-x)
-
1，|x|<1，
求导，得
f(x)
=
1/(1-x)^2，|x|<1。
因此，
∑{n>=0}(n+1)(1/2)^n
=
f(1/2)
=
……
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