Question

高数级数题

希望有详细过程，谢谢

Answer 1

楼主，你被这道题目的外表所迷惑了，这道题目虽然打着函数项级数求和的旗号，但其实他是一道微分方程的题目，而且还是最简单的一阶线性微分方程。解题步骤如下：
令f'_n(x)=y'，令f_n(x)=y，则原题目就转换成了求解一阶线性微分方程：y'-y=x^(n-1) e^x
由公式可得: y=e^x [(x^n)/n +c]，因为f_n(1)=e/n，把x=1代入，得到c=0
所以最后 y=[e^x (x^n)]/n，即f_n(x)=[e^x (x^n)]/n。
将f_n(x)看成两项的乘积，f_n(x)=e^x 乘以(x^n)/n，把与n无关的e^x 提出来，原级数就变成了：
e^x [∑(x^n)/n]
∑(x^n)/n该级数用逐项求导的办法就变成了∑x^(n-1)，|x|<1是该幂级数才是收敛的，此时幂级数求和得到S‘_x=∑x^(n-1)=1/(1-x)，然后对S‘_x进行积分得到S_x=∫ 1/(1-x) dx= -ln(1-x)
最后得到∑f_n(x)= -e^x·ln(1-x)
希望我的回答能让你满意。