Question

已知函数f(x)=(1+a/x)e^x,其中a>0 （1）求函数的零点 （2）讨论y=f（x）在区间（负无穷，0）上的单调性 （

已知函数f(x)=(1+a/x)e^x,其中a>0
（1）求函数的零点
（2）讨论y=f（x）在区间（负无穷，0）上的单调性
（3）在区间（负无穷，-a/2】上，f（x）是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由

请详细解答

Answer 1

先复合函数求导，求的f(x)的导数为[(x^2+ax)e^x-a(e^x)]/x^2,
令f'(x)=0，即(x^2+ax)e^x=a(e^x)，即x^2+ax-a=0,

因为a^2+4a>0恒成立（a>0），所以求得方程的解为x1,x2，
因为定义域为x小于0，a^2+4a>a^2，所以方程的一解>0，舍去，
显然另一解（暂用x1代替）小于0，
当x属于（负无穷大，x1）时，f'(x)>0，f(x)为增函数。
当x属于（x1，0）时，f'(x)小于0，f(x)为减函数。
综上，f(x)的单调增区间为（负无穷大，x1），单调减区间为（x1，0）。

Answer 2

解：（Ⅰ）f（x）=0，得x=-a，所以函数f（x）的零点为-a．（2分）
（Ⅱ）函数f（x）在区域（-∞，0）上有意义，f′（x）=x2+ax-a x2 ex，（5分）
令f′（x）=0，得x1=-a- a2+4a 2 ，x2=-a+ a2+4a 2 ，
因为a＞0，所以x1＜0，x2＞0．（7分）
当x在定义域上变化时，f'（x）的变化情况如下：
所以在区间（-∞，-a- a2+4a 2 ）上f（x）是增函数，（8分）
在区间（-a- a2+4a 2 ，0）上f（x）是减函数．（9分）
（Ⅲ）在区间（-∞，-a 2 ]上f（x）存在最小值f（-a 2 ）．（10分）
证明：由（Ⅰ）知-a是函数f（x）的零点，
因为-a-x1=-a--a- a2+4a 2 =-a+ a2+4a 2 ＞0，
所以x1＜-a＜0，（11分）
由f(x)=(1+a x )ex知，当x＜-a时，f（x）＞0，（12分）
又函数在（x1，0）上是减函数，且x1＜-a＜-a 2 ＜0，
所以函数在区间（-x1，-a 2 ]上的最小值为f（-a 2 ），且f（-a 2 ）＜0，（13分）
所以函数在区间（-∞，-a 2 ]上的最小值为f（-a 2 ），
计算得f（-a 2 ）=-e-a 2 ．（14分）

Answer 3

(1)令f(x)=0(x不=0） 因为a>0 e^x>0 当1+a/x=0 x=-a
(2) f(x)'=e^x-ae^x/x^2(x<0)
=(x^2e^x-ae^x)/x^2
令g(x)=x^2e^x-ae^x
x^2=a x=-a (负无穷,-a)单调增（-a,0)单调减
（3）有最小值f(-a/2)=(1+a/(-a/2))e^(-a/2)
=-e^(-a/2)