Question

在正方形abc d和正方形be fg中点abe在同一直线上p是线段df的中点连接pc连接p

如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC． （1）探究PG与PC的位置关系及 PG PC 的值（写出结论，不需要证明）； （2）如图2，将原问题中的正方形ABCD和正方形BEFG换成菱形ABCD和菱形BEFG，且∠ABC=∠BEF=60度．探究PG与PC的位置关系及 PG PC 的值，写出你的猜想并加以证明； （3）如图3，将图2中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的边BG恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．

Answer 1

（1）线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC； PG PC =1； （2）猜想：线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC； PG PC = 3 ． 证明：如图2，延长GP交DC于点H， ∵P是线段DF的中点， ∴FP=DP， 由题意可知DC∥GF， ∴∠GFP=∠HDP， ∵∠GPF=∠HPD， ∴△GFP≌△HDP， ∴GP=HP，GF=HD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD=CB， ∴CG=CH， ∴△CHG是等腰三角形， ∴PG⊥PC，（三线合一） 又∵∠ABC=∠BEF=60°， ∴∠GCP=60°， ∴ PG PC = 3 ； （3）在（2）中得到的两个结论仍成立． 证明：如图3，延长GP到H，使PH=PG， 连接CH，CG，DH， ∵P是线段DF的中点， ∴FP=DP， ∵∠GPF=∠HPD， ∴△GFP≌△HDP， ∴GF=HD，∠GFP=∠HDP， ∵∠GFP+∠PFE=120°，∠PFE=∠PDC， ∴∠CDH=∠HDP+∠PDC=120°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD=CB，∠ADC=∠ABC=60°，点A、B、G又在一条直线上， ∴∠GBC=120°， ∵四边形BEFG是菱形， ∴GF=GB， ∴HD=GB， ∴△HDC≌△GBC， ∴CH=CG，∠DCH=∠BCG， ∴∠DCH+∠HCB=∠BCG+∠HCB=120°， 即∠HCG=120° ∵CH=CG，PH=PG， ∴PG⊥PC，∠GCP=∠HCP=60°， ∴ PG PC = 3 ．即PG= 3 PC．