Question

在正方形ABCD和正方形BEFG中,点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PA、PE

1、试探究PG与PC的位置关系 2、正方形BEFG绕点B顺时针旋转,使正方形BEFG的顶点F恰好在正方形ABCD的边AB的延长线上,原问题中的其他条件不变(图2),你认为结论PA⊥PE,PA=PE还成立吗?写出猜想并说明

Answer 1

1、连DB、BF、PB,

∠DBF=45°+45°=90° DP=PF

∴PB=PD=PF CD=CB CP=CP

∴△PCD≅△PCB ∴∠PCD=∠PCB=90/2=45°

∴P在对角线AC上，∴∠PAE=45°

因为PB=PF，∴P在BF的垂直平分线上，则在对角线EG的延长线上，

∴∠PEA=45°

∴PA=PE ∠APE=90°

∴PG⊥PC且PG=PC

2、连DB、BF，

在RT△DAF中，PD=PF

∴PA=PD=PF

在RT△DEF中，PE=PF=PD

∴PA=PE

∠APD=∠PAF+∠PFA=2∠PFA

连GE，可知∠PFA=∠PEG

∴∠APD=∠PFA+∠PEG

因为∠FPE=∠PDE+∠PED=2∠PED

可知∠PED=∠PFG

∴∠FPE=∠PEB+PFG

∴∠APD+∠FPE=∠BFG+∠BEG=45+45=90°

∴∠APE=90°

∴PA⊥PE

Answer 2

如图，设BA＝a﹙向量﹚，AD＝a' BE＝b, EF＝b'

则 a²＝a'²,b²＝b'², aa'＝bb'＝0 ab＝-a'b' a'b＝ab'﹙*﹚

DF＝-a'-a+b+b'

PE＝PF+FE＝﹙1/2﹚﹙-a-a'+b+b'﹚

PA＝PD+DA＝﹙1/2﹚﹙a-a'-b-b'﹚

从﹙*﹚：﹙-a-a'+b+b'﹚²＝﹙a-a'-b-b'﹚² ，

﹙-a-a'+b+b'﹚•﹙a-a'-b-b'﹚＝0

∴|PE|＝|PA|. PE⊥PA