Question

已知函数f（x）的导数f′（x）=3x2-3ax，f（0）=b．a，b为实数，1...

已知函数f（x）的导数f′（x）=3x2-3ax，f（0）=b．a，b为实数，1＜a＜2． （Ⅰ）若f（x）在区间[-1，1]上的最小值、最大值分别为-2、1，求a、b的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点P（2，1）且与曲线f（x）相切的直线l的方程； （Ⅲ）设函数F（x）=（f′（x）+6x+1）•e2x，试判断函数F（x）的极值点个数．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知得，f(x)=x3-32ax2+b
由f'（x）=0，得x1=0，x2=a．∵x∈[-1，1]，1＜a＜2，
∴当x∈[-1，0）时，f'（x）＞0，f（x）递增；
当x∈（0，1]时，f'（x）＜0，f（x）递减．
∴f（x）在区间[-1，1]上的最大值为f（0）=b，∴b=1．
又f(1)=1-32a+1=2-32a，f(-1)=-1-32a+1=-32a，
∴f（-1）＜f（1）．，即-32a=-2，得a=43．
故a=43，b=1为所求．
（Ⅱ）解：由（1）得f（x）=x3-2x2+1，f'（x）=3x2-4x，点P（2，1）在曲线f（x）上．
（1）当切点为P（2，1）时，切线l的斜率k=f'（x）|x=2=4，
∴l的方程为y-1=4（x-2），即4x-y-7=0．
（2）当切点P不是切点时，设切点为Q（x0，y0）（x0≠2），
切线l的斜率k=f′(x)|x=x0=3x20-4x0，
∴l的方程为y-y0=（3x02-4x0）（x-x0）．
又点P（2，1）在l上，∴1-y0=（3x02-4x0）（2-x0），
∴1-（x03-2x02+1）=（3x02-4x0）（2-x0），
∴x02（2-x0）=（3x02-4x0）（2-x0），
∴x02=3x02-4x0，即2x0（x0-2）=0，∴x0=0．∴切线l的方程为y=1．
故所求切线l的方程为4x-y-7=0或y=1．
（或者：由（1）知点A（0，1）为极大值点，
所以曲线f（x）的点A处的切线为y=1，恰好经过点P（2，1），符合题意．）
（Ⅲ）解：F（x）=（3x2-3ax+6x+1）•e2x=[3x2-3（a-2）x+1]•e2x．
∴F'（x）=[6x-3（a-2）]•e2x+2[3x2-3（a-2）x+1]•e2x=[6x2-6（a-3）x+8-3a]•e2x．
二次函数y=6x2-6（a-3）x+8-3a的判别式为△=36（a-3）2-24（8-3a）=12（3a2-12a+11）=12[3（a-2）2-1]，
令△≤0，得：(a-2)2≤13，2-33≤a≤2+33．
令△＞0，得a＜2-33，或a＞2+33．
∵e2x＞0，1＜a＜2，
∴当2-33≤a＜2时，F'（x）≥0，函数F（x）为单调递增，极值点个数为0；
当1＜a＜2-33时，此时方程F'（x）=0有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数F（x）有两个极值点．