Question

换元法解方程 (x-1)/(2x+1)-6(2x+1)/(x-1)=1

Answer 1

使用换元法，令y=(x-1)/(2x-1)
则有
y - 6/y = 1
两边乘以y并移项得：
y^2 - y - 6=0
即
(y-3)(y+2) = 0
所以有
y=3或者y=-2
即(x-1)/(2x+1) = 3或者(x-1)/(2x+1) = -2
由(x-1)/(2x+1) = 3可化为x-1 = 6x+3，解得x = -4/5
由(x-1)/(2x+1) = -2可化为x-1 = -4x-2，解得x = -1/5

所以原方程的解为x=-1/5或者x=-4/5

Answer 2

设a=(x-1)/(2x+1)则-5a=1，a=1/5，(x-1)/(2x+1)=1/5，2x+1=5x-5，x=2

Answer 3

设t=(x-1)/(2x+1)，则1/t=(2x+1)/(x-1)
则原方程变为t-6/t=1
则t²-6=t
则t²-t-6=0
则(t+2)(t-3)=0
所以t=-2或t=3
t=-2时，(x-1)/(2x+1)=-2，则x-1=-4x-2，解得x=-1/5
t=3时，(x-1)/(2x+1)=3，则x-1=6x+3，解得x=-4/5
检验：将x=-1/5和-4/5，分别代入原方程，左边=右边
所以x=x=-1/5和-4/5是原方程的解。

Answer 4

(x-1)/(2x+1)-6(2x+1)/(x-1)=1
设(x-1)/(2x+1)=z,则
z-6/z=1
z^2-z-6=0
(z-3)(z+2)=0
z=3或z=-2
(x-1)/(2x+1)=3
x-1=6x+3
5x=-4
x=-4/5
(x-1)/(2x+1)=-2
x-1=-4x-2
5x=-1
x=-1/5
所以
x1=-4/5
x2=-1/5

Answer 5

t=(x-1)/(2x+1)换元得t-6/t=1
移项得:
t^2-t-6=0,(t-3)(t+2)=0,
得t=3或-2，x=-4/5或-1/5

Answer 6

设(x-1)/(2x+1)为y则(2x+1)/(x-1)为1/y
y-6/y=1
y^2-y-6=0
y=3 或 y= -2
当y=3时 (x-1)/(2x+1)=3 解得x= -4/5
当y= -2时 (x-1)/(2x+1)= -2 解得x= 1/5