Question

若(a+b-c)/c=(a-b+c)/b=(-a+b+c)/a,求(a+b)(a+c)(b+c)/abc

Answer 1

设(a+b-c)/c=(a-b+c)/b=(-a+b+c)/a=k
则a+b-c=kc
a-b+c=kb
-a+b+c=ak
相加
a+b+c=k(a+b+c)
(a+b+c)(k-1)=0
a+b+c=0或k-1=0

若a+b+c=0
则a+b=-c,b+c=-a,c+a=-b
所以(a+b)(a+c)(b+c)/abc
=(-c)(-b)(-a)/abc
=-abc/abc
=-1

若k-1=0
k=1
则a+b-c=-c
a-b+c=-b
-a+b+c=-a
则a+b=0,a+c=0,b+c=0
所以(a+b)(a+c)(b+c)/abc=0

Answer 2

设(a+b-c)/c=(a-b+c)/b=(-a+b+c)/a=k
则a+b-c=kc
a-b+c=kb
-a+b+c=ak
相加
a+b+c=k(a+b+c)
(a+b+c)(k-1)=0
a+b+c=0或k-1=0
若a+b+c=0
则a+b=-c,b+c=-a,c+a=-b
所以(a+b)(a+c)(b+c)/abc
=(-c)(-b)(-a)/abc
=-abc/abc
=-1
若k-1=0
k=1
则a+b-c=-c
a-b+c=-b
-a+b+c=-a
则a+b=0,a+c=0,b+c=0
所以(a+b)(a+c)(b+c)/abc=0

Answer 3

引用登高123☆的回答：
设(a+b-c)/c=(a-b+c)/b=(-a+b+c)/a=k
则a+b-c=kc
a-b+c=kb
-a+b+c=ak
相加
a+b+c=k(a+b+c)
(a+b+c)(k-1)=0
a+b+c=0或k-1=0

若a+b+c=0
则a+b=-c,b+c=-a,c+a=-b
所以(a+b)(a+c)(b+c)/abc
=(-c)(-b)(-a)/abc
=-abc/abc
=-1

若k-1=0
k=1
则a+b-c=-c
a-b+c=-b
-a+b+c=-a
则a+b=0,a+c=0,b+c=0
所以(a+b)(a+c)(b+c)/abc=0

若k-1=0
k=1
则a+b-c=c
a-b+c=b
-a+b+c=a
则a+b=2c, a+c=2b, b+c=2a
所以(a+b)(a+c)(b+c)/abc=(2c*2b*2a)/abc=8