Question

已知AB是○O的直径,BC,CD分别是○O的切线,切点分别为B,D,E是BA和CD的延长线的交点。

（1）猜想AD与OC的位置关系，并加以证明；
（2）设AD,OC的积为S，○O的半径为r，试探究S与r的关系。
（3）当r＝2,角E＝三分之一时，求AD和OC的长。

Answer 1

（1）猜想AD与OC的位置关系，并加以证明；
AD//OC,证明：
∵OA=OD
∴∠OAD=∠ODA
在△OAD中
∠OAD=∠ODA=1/2（180°-∠AOD）
∵OB=OD,∠OBC=∠ODC,OC=OC
∴△COB≌△COD
∴∠COB=∠COD
∵∠AOD+∠COD+∠COB=180°
∴∠COB=∠COD=1/2（180°-∠AOD）
∴∠COD=∠AOD
∴AD//OC
（2）设AD,OC的积为S，○O的半径为r，试探究S与r的关系。
设ED=b，DC=a，EA=c
∵AD//OC
∴△EDA∽△ECO
∴b/a=c/r
又△EDO∽△EBC
∴b/(2r+c)=r/a
b/a=r(2r+c)/a²
∴b/a=c/r=r(2r+c)/a²
a²/r=r(2r+c)/c=2r²/c+r
r/c=a²/(2r²)-1/2
又AD*OC=S
则AD/OC=S/OC²=c/(c+r)
又OC²=r²+a²
∴OC²/S=(r²+a²)/S=1+r/c=1+a²/(2r²)-1/2=(a²+r²)/2r²
即S=2r²
（3）当r＝2,角E＝三分之一时，求AD和OC的长。
在RT△EBC中
a=(a+b)sinE
a/(a+b)=sinE/1
b/(a+b)=(1-sinE)/1
又b/(a+b)=AD/OC=S/OC²,S=2r²
∴1-sinE=S/OC²=2(r/OC)²
∴OC=r√2/(1-sinE)=2√2/(1-sinE)
∴AD=S*OC=2r²*OC=16√2/(1-sinE)