Question

线性方程组基础解系和通解的问题

线性方程组基础解系和通解的问题如图21题。划线部分的基础解系和通解为什么这样取？通解是随便取的吗？根据哪条性质。。。求解答。

Answer 1

系数矩阵:

1 1 -1 -1

2 -5 3 -2

7 -7 3 2

r2-2r1, r3-7r1 得:

1 1 -1 -1

0 -7 5 0

0 -14 10 9

r3-2r2:

1 1 -1 -1

0 -7 5 0

0 0 0 9

矩阵的秩为3,n=4,基础解劝系含一个解劝向量.可取x3为自由未知量,可任给x3以非零值,而求得一解劝,即的基础解系。

取x3=7,得解向量:z=( 2, 5, 7, 0)

而通解为:X=kz.

扩展资料

齐次线性方程组的性质

1.齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。

2.齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。

3.齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n，方程组有唯一零解。

齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)<n,方程组有无数多解。

4. n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。等价地，方程组有唯一的零解的充要条件是系数矩阵不为零。

Answer 2

Aα1=b,Aα2=b,Aα3=b,根据非齐次线性方程组的性质，A(α1-α2)=0,A(α1-α3)=0,A(α2-α3)=0,显然题中Aξ=A(α3-α1)=0,即ξ是齐次方程的通解，Aη=1/2*A(α1+α2)=b,即η为非齐次方程组的特解，基础解系的维数为n-r=4-3=1,另外η也可以为1/2*(α2+α3)