Question

已知函数F(X)=sin^2（ωx）+√3 cosωx *cos(π/2-ωx) (ω>0),且函数y=f(X)的图象相邻两条对称轴之间的距

为π/2。①求f(π/6) 的值。②若函数 f(kx+π/12)(k>0)在区间[-π/6,π/3]上单调递增，求k的取值范围。

Answer 1

f(X)=sin^2（ωx）+√3 cosωx *cos(π/2-ωx)
=(1-cos2ωx)/2+√3 cosωx*sinωx
=√3/2sin2ωx-1/2cos2ωx+1/2
=sin(2ωx-π/6)+1/2
因为函数y=f(X)的图象相邻两条对称轴之间的距为π/2,
即是两个最值点距离，即是T/2=π/2，所以T=π=2π/2ω，故ω=1
所以f(X)=sin(2x-π/6)+1/2
(1)f(π/6)=sinπ/6=1/2
（2）因为f(kx+π/12)=sin2kx，要在区间[-π/6,π/3]上单调递增，
则必须T/4≥π/3，T=2π/2k, 所以，可求得k≤3/4, 又已知k>0，则解得0<k≤3/4