Question

数学小题目？

假设a(b(x))=1+cosx，b(x)=sin(½x)，求a(x)。我算出来是f(x)=2x²，我同学算出来f(x)=1+cos(2arcsinx)，请问一下，有没有大哥有专门针对这种复合函数求解的公式。

Answer 1

1. 思路就是求出b(x)的反函数，然后用b^-1(x)替换a(b(x))=1+cos(x)中的x，这样左边就是a(b(b^-1(x)))=a(x)，右边即为所求
2. b(x)的反函数很好求，现在我们有y=sin(0.5x)，我们交换x和y，得到x=sin(0.5y)，整理后得到y=2arcsin(x)，也就是b^-1(x) = 2arcsin(x)
3. 将b^-1(x)代入第一步，可以得到a(x)=1+cos(b^-1(x))=1+cos(2arcsin(x))，所以你同学的答案是对的。

追问

但是，我那个回带也没错啊

Answer 2

a[b(x)] = 1+cosx
a[sin(x/2)]
= 1+ cosx
= 1+cos[2(x/2)]
=1+ { 1- 2[sin(x/2)]^2 }
= 2- 2[sin(x/2)]^2
a(x) = 2-2x^2

追问

您这个不太对吧

你回带一下

追答

b(x)=sin(½x)，
a[b(x)] = 1+cosx
a[sin(½x)] = 1+cosx ( 有什么不对)?

追问

可是，你最后得出来的a(x)=2－2x²啊

你现在写的我能理解，就是你之前写的这个

追答

a[sin(x/2)]
= 1+ cosx
= 1+cos[2(x/2)]
=1+ { 1- 2[sin(x/2)]^2 }
= 2- 2[sin(x/2)]^2
y=sin(x/2)
a(y)= 2- 2y^2
ie
a(x) = 2-2x^2

追问

就是第三行和第四行的转换

有点看不懂

大佬，这是啥特别的公式吗?

我数学蛮差，在恶补中

追答

cos(2u)= 1-2(sinu)^2
u=x/2
cos[2(x/2)] = 1- 2[sin(x/2)]^2

Answer 3

请用印刷版原题图片提问为好。
题目若是 a[b(x)] = 1-cosx，b(x) = sin(½x),
则 a[b(x)] = a[sin(½x)] =1-cosx = 2[sin(½x)]²，得 a(x) = 2x²。
题目若确是 a[b(x)] = 1+cosx，b(x) = sin(½x),
则 a[b(x)] = a[sin(½x)] =1+cosx = 1+1-2[sin(½x)]² = 2-[sin(½x)]²，得 a(x) = 2-2x²，