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首先C(i,n)的意思是：从n个物体中随机抽出 i 个物体的所有不同抽法。
那么
一方面 ∑C(i,n) 表示 从n个物体中随机抽出0个的所有不同抽法+从n个物体中随机抽出2个的所有不同抽法+……+从n个物体中随机抽出n个的所有不同抽法 的总和
另一方面 我们考虑n个物体中的任意一个，记为A，则在每一次抽取中，A或者被抽中，或者没有被抽中，只有这样两个结果，并且与其他的物体没有关系。所以上述所有不同抽法的总和为2^n
从而∑C(i,n)=2^n
那么
一方面 ∑C(i,n) 表示 从n个物体中随机抽出0个的所有不同抽法+从n个物体中随机抽出2个的所有不同抽法+……+从n个物体中随机抽出n个的所有不同抽法 的总和
另一方面 我们考虑n个物体中的任意一个，记为A，则在每一次抽取中，A或者被抽中，或者没有被抽中，只有这样两个结果，并且与其他的物体没有关系。所以上述所有不同抽法的总和为2^n
从而∑C(i,n)=2^n
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用二项式定理证很简单（1+x）^n＝（…），取x=1，就得到所证式＝2^n
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