Question

一道简单的不等式题

数列an是均为正项的等比数列，且q不等于1 ，则a1+a4和a2+a3的关系
答案是a1+a4大于a2+a3 求解 谢谢谢

Answer 1

根据等比数列的定义可得
a2=a*q；a3=a*q*q；a4=a*q*q*q
于是（a1+a4）-（a2+a3）=（a+a*q*q*q）-（a*q+a*q*q）
=a*[(1+q*q*q)-(q-q*q)]
=a*[(1-q*q)-(q-q*q*q)]
=a*(1-q)*(1-q*q)
由于数列an是均为正项的等比数列，所以an与q均大于0
当q大于零，且不等于1时，(1-q)*(1-q*q)必定大于0
所以a1+a4大于a2+a3

Answer 2

(a1+a4)-(a2+a3)=a1(q^3-q^2-q+1)=a1(q+1)(q-1)^2
因为an>0所以a1和q均大于0，即(a1+a4)-(a2+a3)>0，证毕

追问

(q^3-q^2-q+1)=(q+1)(q-1)^2
这步用的什么公式 我咋没学过呢

追答

等号左边有个a1，你漏写了。
q^3-q^2-q+1=（q^3+1）-（q^2+q）=（q+1)(q^2-q+1)-q(q+1)=(q+1)(q-1)^2

Answer 3

a(n)=aq^(n-1), a>0,q>0,q不等于1 .
a(1)+a(4)-a(2)+a(3)=a+aq^3-aq-aq^2=a[q^3-q^2-q+1]=a[q^2(q-1)-(q-1)]=a(q-1)[q^2-1]=a(q+1)(q-1)^2>0.

Answer 4

a1+a4=a1+a1q^3
a2+a3=a1q+a1q^2
(a1+a4)-(a2+a3)=(a1+a1q^3)-(a1q+a1q^2)=a1(1+q^3-q-q^2)=a1(q-1)(q^2-1)=a1(q-1)^2(q+1)>0
所以a1+a4>a2+a3