Question

数列求和问题

已知An=1/4n^2，求证：A1^2+A2^2+A2^2+......+An<=(小于等于）1/2-1/4n

Answer 1

证：
n=1时，S1=a1=1/4 1/2-1/(4×1)=1/4，左=右，不等式成立。
n>1时，
Sn=(1/4)(1/1²+1/2²+1/3²+...+1/n²)
<(1/4)[1+1/(1×2)+1/(2×3)+...+1/(n-1)n]
=(1/4)[1+1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-1)-1/n] (中间都消掉了)
=(1/4)(2-1/n)
=1/2-1/(4n)
综上，得a1²+a2²+...+an²≤1/2-1/(4n)

提示：n>1时，用放缩法。