Question

在小于5000的正整数中,能被11整除,且数字和为13的数共有多少个?希望能给出解题过程.

Answer 1

根据这个数能被11整除，那么这个数的奇数位的和与偶数位的和的差能被11整除（大的和减去小的和，不需要分哪个是被减数），那么就可以把奇数位的和看做一个整体A，同样，偶数位的和也看做一个整体B，那么各位数字和就是A+B=13，奇数位于偶数位的差能被11整除，就是A-B或者B-A=0，11，（不可能等于22，因为和才只有13，差不可能为22）。那么这时候很显然相当于已经知道两个数的和是13，差是0或者11.当差为0时，奇数位偶数位的和都是6.5，显然不行，那么只有差为11时，算出来奇数位和为12，偶数位和为1（或者偶数位和为12，奇数位和为1）。接下来要讨论情况了，显然，一位数不满足条件，两位数由于要有数位上的和为12，显然单个位是不能满足条件的，也不行。最小的应该是3位数，这时候，可以发现，只有十位是1，百位和个位的数字和是12（若百位和各位的和为1，十位上单个数字是不能达到12的），由于12=3+9=4+8=5+7=6+6，那么这些十位是1，百位和个位是上述12分解的数组合起来的三位数的个数就很好求了，就是2x3+1=7个（2就是12每次分解成的两个数，在百位个位排列一下，3组，再加一个重复是6的，所以共7个）。接下来讨论4位数，还是根据奇数位的和是1，偶数位的和是12（或者奇数位的数字和是12，偶数位的数字和是1），那么这时候，
第一种情况：先讨论奇数位的和为1，偶数位的和是12，由于这个数要比5000小，那么这些四位数数只能是3（）9（）或者4（）8（），括号内是奇数位，就是0和1排列一下，那么就是4个数。
第二种情况：偶数位的和是1，奇数位的和是12，那么这时候，显然偶数位上只有千位为1，十位为0，1（）0（），剩下括号内也就是奇数位百位和个位是12分解出的4组数的排列，还是2x3+1=7种。
那么综上所有的情况，个数就是7+4+7=18个。
小结一下：这类求11能被11整除的数的特征的，一般都是先根据奇数位与偶数位的和为xxx，差又能被11整除，这样就相当于先求一个和差问题，求出来数字和之后，下一步就是根据题目的其他要求，再具体解决。这一题是分解数字和，再分情况讨论一下，验算哪些是可以满足条件的。:) :) :)