Question

急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急急 设函数f（x）=(a/3)x^3-(3/2)x^2+(a+1)x+1

设函数f（x）=(a/3)x^3-(3/2)x^2+(a+1)x+1，其中a为实数
已知不等式f（x）>x^2-x-a+1对于任意a∈（x，+∞）都成立，求实数x的取值范围

Answer 1

f（x）>x^2-x-a+1
(a/3)x^3-(3/2)x^2+(a+1)x+1>x^2-x-a+1
a(x³/3+x+1)＞5/2x²-2x
①x³/3+x+1<0,
因为a∈（x，+∞）
所以当a→+∞时,a(x³/3+x+1)→-∞
5/2x²-2x有最小值,所以x³/3+x+1<0不成立
②x³/3+x+1=0,
设g(x)=x³/3+x+1是个单调递增函数,
与x轴的交点坐标为x³/3+x+1=0的实根
g(0)=1,g(-1)=-1/3
所以实根-1<x<0
当x<0时5/2x²-2x>0
这时a(x³/3+x+1)＞5/2x²-2x
左边=0,右边大于0不成立
③x³/3+x+1>0
a(x³/3+x+1)＞5/2x²-2x
因为a>x
所以x(x³/3+x+1)≥5/2x²-2x
设x³/3+x+1=0的解是m
-1<m<0
当m<x<0时,(x³/3+x+1)＜0,而5/2x²-2x>0,不成立
⑴当x=0时,x(x³/3+x+1)≥5/2x²-2x
即0≥0,成立
⑵当x>0时,x(x³/3+x+1)≥5/2x²-2x
两边同时除以x,
x³/3+x+1-5/2x+2>0
x³/3-3/2x+3>0
设h(x)=x³/3-3/2x+3
h'(x)=x²-3/2
当h'(x)=x²-3/2=0时,h(x)有极值
即x=√(3/2),(x>0),有,h(x)有极小值
将x=√(3/2),带入h(x)=x³/3-3/2x+3
得h[√(3/2)]=1/2√(3/2)-3/2√(3/2)+3
=-√(3/2)+3>0
所以当x>0时
x³/3-3/2x+3>0
总和⑴,⑵得实数x的取值范围x∈[0，+∞）

Answer 2

设函数f（x）=(a/3)x^3-(3/2)x^2+(a+1)x+1，其中a为实数
f（x）>x^2-x-a+1对于任意a∈（x，+∞）都成立
g(x)=(a/3)x^3-(5/2)x^2+(a+2)x+a>0
设g'(x)=ax^2-5x+(a+2)=0
ax^2+bx+c=0, x为实数==>
b^2-4ac≥0
即25-4a(a+2)≥0
a≤[-8+4(29)^(1/2)]/8
a∈（x，+∞）
实数x的取值范围x≤-1+(1/2)*(29)^(1/2)

Answer 3

因f（x）>x^2-x-a+1
所以（a/3)x^3-(3/2)x^2+(a+1)x+1>x^2-x-a+1
即（a/3)x^3-(1/2)x^2+(a+2)x+a>0
令g(x)=（a/3)x^3-(1/2)x^2+(a+2)x+a>0
则g'(x)=ax^2-x+a+2>0
对任意a∈（x，+∞） 都成立
则1-4a(a+2)＜0
4a^2+8a-1>0
(-2-√5)/2<a<(√5-2)/2
而且g'(a)=a^3+1>0
a>-1
所以-1<a<(√5-2)/2
因a∈（x，+∞）
故-1<x<(√5-2)/2

Answer 4

因为f（x）>x^2-x-a+1
所以（a/3)x^3-(3/2)x^2+(a+1)x+1>x^2-x-a+1化简得到
（a/3)x^3-(1/2)x^2+(a+1)x+a>0
令F（x）=（a/3)x^3-(1/2)x^2+(a+1)x+a
F‘（x）=ax^2-x+a+1>0 a∈（x，+∞）都成立 当a∈（x，+∞）
所以a>0 b^2-4ac>=0即1-4a^2-4a>=0
解得a=根号2-1 因为a∈（x，+∞）所以x>=根号2-1

Answer 5

原不等式f(x)>x^2-x-a+1
整理得a[(x^3)/3+x+1]>(5x^2)/2-2x即a[(x^3)/3+x+1]-[(5x^2)/2-2x]>0对任意a∈（x，+∞）都成立。
设g(a)=a[(x^3)/3+x+1]-[(5x^2)/2-2x]
此时分类讨论：
（1）当(x^3)/3+x+1=0，此时设p（x）=(x^3)/3+x+1，这是个单增函数，我们设其与x轴交点为（t，0）。因为p（-1）=-1/3，p（0）=1，所以此时0点x即t属于（-1,0），原不等式右端(5x^2)/2-2x>0,原不等式不成立。
（2）当（x^3)/3+x+1<0即g（a）代表的直线斜率K<0时,在坐标轴上其值不可能恒大于0。舍去。
（3）当(x^3)/3+x+1>0即x>t时，一次函数g（a）单增。
原不等式成立只需要满足g（x）>=0即可。代入得
[(x^3)/3+x+1]x-[(5x^2)/2-2x]>=0
再次展开讨论：
（i）当x=0时，不等式成立。
（ii）当t<x<0时，[(x^3)/3+x+1]x>(5x^2)/2-2x 两边同时除以x得
(x^3)/3+x+1<5x/2-2同时乘以6并且化简得
2x^3-9x+18<0
令F（x）=2x^3-9x+18则F‘（x）=6x^2-9.容易求得其极值点为x=正负根号6/2
当x属于（-根号6/2,根号6/2），F’<0
而（ii）讨论的x恰在这个范围之内。于是知道F在x属于（t，0）上单减。
而F（0）=18>0.所以这时所有的F（x）均大于0.不等式 2x^3-9x+18<0不成立。舍去
（iii）当x>0时，[(x^3)/3+x+1]x>(5x^2)/2-2x 两边同时除以x得
(x^3)/3+x+1>5x/2-2同时乘以6并且化简得
2x^3-9x+18>0.
由（ii）中的分析得F（x）=2x^3-9x+18在（0,正无穷)上有极小值F（根号6/2)=18-3根号6>0.所以这种情形下不等式2x^3-9x+18>0.恒成立。
综上所述，x>=0为所求。
【费了一个多小时，不管对错，都请多指教啊。如果错至少告诉我正确答案】

Answer 6

由题可知
(a/3)x^3-(3/2)x^2+(a+1)x+1)>x^2-x-a+1对任意a∈(0,+∞) 都成立
所以a（x^2+2）-x^2-2x>0对任意a∈(0,+∞) 都成立
设g（a）=a（x^2+2）-x^2-2x(a∈R),g(a)为单调递增函数(a∈R)
所以对任意a∈(0,+∞) ，g（a）>0恒成立的充要条件是g（0）>=0
即-x^2-2x>=0
所以-2<=x<=0
所以x的取值范围是{x|-2<=x<=0}