Question

关于高等数学中求解全微分方程的疑惑，求解答

如图所示，求解全微分方程的时候，对Pdx+Qdx从(0,0)到(x,y)的积分不应该是u（x,y)-u(0,0)吗？为什么图中只写了u（x,y)？Pdx+Qdx=du=0，那对其积分也应该是0呀？为什么答案是令积分值为任意常数呢？

Answer 1

首先，那个u（x,y）只是表示这个全微分方程积分出来之后的函数，并不是计算的定积分。
就像不定积分的F(x)=∫f(x)dx一样这里的F(x)只是表示f(x)积分之后的结果，至于为什么要等于C,和前面提到的不定积分一样，积分出来的结果并不是通解，也要加个C.

追问

请问对du进行积分的话，积出来的结果不应该是u（x,y)-u(0,0)吗？仅函数u应该不能表示积出来的结果呀？

比如这个，积出来的结果是f(x)-f(1)而不是f(x)呀

大佬，我哪里想错了吗

追答

我懂你的意思了。
但是你即使是f(1)那也是带入的f,而不是F,这一题里，你带入x=0,或者y=0，那结果都是0。
u(x,y)是积分出来的原函数，你要带入的是被积函数，也就是那两个全微分的分量啊

追问

请问在定积分中，积出来的不应该是两个原函数的差值吗？

我理解不了为什么这个全微分方程一积出来就直接是原函数而不是原函数在两个点的差值

追答

你看清楚，被积函数是谁？两个被积函数积分出来的原函数与u(x,y)无关，他们两个加起来才是u(x,y),你带入0那也是带入的这两个被积分出来的原函数，而不是u(x,y)，