Question

球面x^2+y^2+z^2=a^2在柱面x^2+y^2=ax内部分面积

书上给的答案是(2π-4)a^2

Answer 1

曲面存在于一、二、五、六卦限，根据对称性，总面积是第一卦限面积的4倍。
先求dS的表达式
2x+2z∂z/∂x=0
∂z/∂x=-x/z
2y+2z∂z/∂y=0
∂z/∂y=-y/z
dS=√[1+(∂z/∂x)^2+(∂z/∂y)^2]=a/zdxdy
S=4∫∫(D)dS=4∫(0,π/2)dθ∫(0,acosθ)[a/√(a^2-r^2)]rdr=-4a∫(0,π/2)√(a^2-r^2)(0,acosθ)dθ=4a^2∫(0,π/2)(1-sinθ)dθ=(2π-4)a^2