Question

已知数列{an}，a1二Cosθ，an+1二Cosθ十ansⅰnθ，且θ∈[0，2π]，求lim

(n→∞)an

Answer 1

分情况

追问

想问一下老师另一种情况当θ=3/2π时lⅰm(n→∞)时也有an二0，求通项公式时是不是要先用待定系数法先求出an+1十C0sθ/(sinθ一1)=sⅰnθ[a1+C0sθ/(sinθ一1 )]然后n=1，2，3……n代入，各式相乘得到通项公式。

追答

θ=3/2π时lⅰm(n→∞)时也有an=0，但这个不影响计算，或者说上面的答案cosθ/（1-sinθ），已经包括这个值，之所以单独把θ=π/2分出来，是因为会使得cosθ/（1-sinθ）没有意义。
求通项公式时，是可以用待定系数法先求出an+1十C0sθ/(sinθ一1)=sⅰnθ[a1+C0sθ/(sinθ一1 )]，（注意等式右边的a1，应该是an吧）然后n=1，2，3……n代入，各式相乘得到通项公式。还可以用其他方法，如列出n个等式，然后第i行乘以sⅰnθ的i-1次方，然后n个等式相加，也可以求出an，右边是一个等比数列，加上一点常数。
不过这个题目是求极限，没有必要求出通项，再就极限。可以利用lim(n→∞)an=lim(n→∞)a（n+1）这个性质，直接对递推公式两边求极限。

追问

谢谢老师回复