Question

初二奥数数学（要过程，有加分）

已知长方形的边长都是整数，将边长为2的正方形放入长方形，要求正方形的边与长方形的边平行或重合，且任意两个正方形重叠部分的面积为0，放入的正方形越多越好。
（1）如果长方形的长是4，宽是3，那么最多可以放入多少个边长为2的正方形？长方形被覆盖的面积占整个长方形的面积的百分比是多少？
（2）如果长方形的长是n（n≥4），宽是n-2，那么最多可以放入多少个边长为2的正方形？长方形被覆盖的面积占整个长方形的面积的百分比是多少？
（3）对于任意满足条件的长方形，使长方形被覆盖的面积小于整个长方形面积的55%。求长方形边长的所有可能值。（已知根号0.55≈0.74）

Answer 1

(1)长方形的边长为4和3，依题意可得，正方形只能放2个。
所以：(2*2*2)/(3*4)=0.667=66.7%
(2)正方形的个数由长方形两边决定，所以
<1>可以放入的个数为[(n-2)/2]*(n/2)个..................................(n为偶数)
同理可求得：{[(n-2)/2](n/2)*2*2}/[n(n-2)]
化简得：100%
<2>可以放入的个数为[(n-3)/2][(n-1)/2]个..................................(n为奇数)
同理可求得：{[(n-3)/2][(n-1)/2]*2*2}/[n(n-2)]
化简得：[(n-1)(n-3)]/[n(n-2)]*100%
(3)由(2)可得：
<1>两边都为偶数；
这种情况覆盖率必为100%，所以不可能符合题目要求。
<2>一边奇数为a，一边偶数为b
覆盖率=(a-1)b/(ab)=1-1/a<0.55
a<1/0.45=2.22222
a为奇数且a<2.22222，则a=1；这样一个正方形都放不下
不合题意。
<3>两边都为奇数且分别为a、b
覆盖率=(a-1)(b-1)/(ab) <0.55
一个不等式有两个未知数，只能用列举法
设a=3，解得b<5.7，所以a=3，b=3或5
所以只有当矩形一边长为3，另一边长为3或5时才成立。

Answer 2

（1）2*2*（4/2）/4*3=0.6767%
（2）n/（n-2）*（n-2）*（n-2）/n*3=（n-2）/3

追问

为什么，说清楚点

追答

（1）4÷2=2（个）
3÷2=1（个）......1
∴可以放入1×2=2个正方形
正方形面积就是2×2×2=8
占长方形面积的8÷（4×3）≈67％
（2）同上一问的道理
可以放入（n÷2）[（n-2）÷2]个
正方形的面积占长方形面积的2×2×（n÷2）[（n-2）÷2]÷[n（n-2）]（自己化简去）

第三问太麻烦了，你又不给钱，凭什么给你做？
再见，嘿！！
刚才内个答案，是我弟帮我做的，他才五年级，答错了，抱歉。

追问

会给你
，你看我钱。。不稀罕那么点

追答

那你还这么小气，告诉你实话吧，我也不会。
我跟你一样也是初二，我怎么会呢？