Question

已知椭圆C为x2+4y2=4。A为椭圆C的右顶点。直线L是与椭圆交于MN两点的任意直线,若AM垂直AN， 证明直线L过定

Answer 1

直线L:y=kx+m
椭圆方程与y=kx+m联立
得到(1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-4=0
x1+x2=-8km/(1+4k^2),x1x2=(4m^2-4)/(1+4k^2)
A(2,0),M(x1,y1),N(x2,y2)
AM*AN=(x1-2,y1)(x2-2,y2)
=x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0
y1=kx1+m,y2=kx2+m
代入整理得
(k^2+1)x1x2+(km-2)(x1+x2)+m^2+4=0
代入x1+x2,x1x2
得5m^2+16km+12k^2=0
(5m+6k)(m+2k)=0
m=-2k,y=kx+m=k(x-2) 舍,
m=-6k/5,y=kx+m=k(x-6/5)
直线L过定点(6/5,0)