Question

cos1/sin46+cos2/sin47+......+cos89/sin134=

Answer 1

解：令 S =cos 1° /sin 46° +cos 2° /sin 47° +... +cos 89° /sin 134°, ①
则 S =cos 89° /sin 134° +cos 88° /sin 133° +... +cos 1° /sin 46°
=cos (90° -1°) /sin (180° -46°) +cos (90° -2°) /sin (180° -47°)
+ ... +cos (90° -89°) /sin (180° -134°)
= sin 1° /sin 46° +sin 2° /sin 47° +... +sin 89° /sin 134°. ②
①+②, 得
2S =(cos 1° +sin 1°) /sin 46° +(cos 2° +sin 2°) /sin 47°
+... +(cos 89° +sin 89°) /sin 134°. ③

又因为 sin 46° =sin (1° +45°)
=sin 1° cos 45° +cos 1° sin 45°
=(√2 /2) (sin 1° +cos 1°),
所以 (cos 1° +sin 1°) /sin 46° =√2.
同理, (cos 2° +sin 2°) /sin 47° =√2.
... ...
(cos 89° +sin 89°) /sin 134° =√2.

代入 ③ 得
2S =89 √2,
即 S =89 √2 /2,
所以 原式=89 √2 /2.

= = = = = = = = =
首尾相加法。
诱导公式。

sin 46° =(√2 /2) (sin 1° +cos 1°),
这是关键。

或直接利用 sin x +cos x =√2 sin (x +45°).