Question

f(x)=ax²+bx+c.(1)若a+c=0，f(x)在[-1.1]上最大值为2，最小值为-5/2.证明：a不等于0，且绝对值b/a＜2

Answer 1

证明：
1）当a=0时，由a+c=0得c=0，f(x)=bx，在[-1.1]上最大值、最小值为两端点为f(-1)=-b，f(1)=b。而题中给出的最大值最小值为2，-5/2.。说明a不等于0

2）当a不等于0，对于f(x)，顶点位于-b/2a处，取值为（4ac-b^2）/4a，
一，当顶点不在区间内或在边界上，即|-b/2a|>=1，即|b/a|>=2。
此时最大值最小值为两端点f(-1)=a-b+c=-b，f(1)=a+b+c=b。互为相反数，但是题中给出的最值为2，-5/2。不为相反数，所以假设不成立。顶点在区间内。
二，当顶点在区间内，即|-b/2a|<1，即|b/a|<2。
此时最值为f(-1=-b，f(1)=b中的一个和（4ac-b^2）/4a，
当a>0时，最小值为（4ac-b^2）/4a，当b>0，最大值为b
当b<0，最大值为-b
当a<0时，最大值为（4ac-b^2）/4a，当b>0，最小值为-b
当b<0，最小值为b

Answer 2

1.先证明，A不等于0 假设a=0 那么c=0， f（x）=bx 最大值与最小值应该互为相反数，与题意不符，所以a一定不等于0.
2. 我是用讨论的方法做的，因为a不等于0 所以函数f（x）是抛物线，但a.b.c 均为未知数，所以图像不确定，就要情况讨论。
（1） 当开口向上时，a＞0 分三种情况，1.抛物线与x轴的交点全在负半轴上（你可以画图试试，发现这种情况是不成立的，当x=0时代入f(x)=c 因为c=－a 所以f(x)=－a 因为a是大于0的，所以这种图像你画不出来！）2.抛物线与x轴的交点一个在左一个在右（符合题意)求出a 和b 满足。3.全在右边（发现又画不出来了)
(2)开口向下 同理...... 我可能想麻烦了，或许有更简单的方法，我也想知道 呵呵。

Answer 3

1）假设a=0，求解得y=bx ，最大最小值不符合要求，假设不成立
2）假设a>0，取 x＝－b/2a为最小值，此时y＝－5/2，得到一个方程（1）。最大值必定为x=1或者-1点，带入方程得到方程（2），加上方程（3）（a+c=0）可以求得 a, b ,c值。验证方程，取一组解，证明结果
3）假设a<0,其余类同2）