Question

已知实数x、y、z满足x²+y²+z²=4，则（2x-y）²+（2y-z）²+（2z-x）²的最大

如题

Answer 1

(2x-y）²+（2y-z）²+（2z-x)²=4x²-4xy+y²+4y²-4yz+z²+z²-4xz+x²=5(x²+y²+z²)-4(xy+yz+xz)=20-4(xy+yz+xz)
要团激求最大值，就要求4(xy+yz+xz)最小值
因为
2(xy+yz+xz)=(x+y)²+(y+z)²+(x+z)²-2(x²+y²+z²)=(x+y)²+(y+z)²+(x+z)²-8
所以
-4(xy+yz+xz)=16-2[(x+y)²+(y+z)²+(x+z)²]
所以
原式=20+16-2[(x+y)²+(y+z)²+(x+z)²]=36-2[(x+y)²+(y+z)²+(x+z)²]
因为塌岁袜
(x+y)²+(y+z)²+(x+z)²最小值为0
所以
原式最大值为36
答案雀运
36
（数学符号不会打）

Answer 2

(2x-y)²+(2y-z)²+(2z-x)²
=4x²-4xy+y²+4y²让答锋坦晌-4yz+z²+4z²举正-4zx+x²
=5(x²+y²+z²)-4(xy+yz+zx)
=20-4(xy+yz+zx)
当x,y,z中有一个为0，另两个分别为根号2、负根号2时
原式=20-4×(-2)=28，为最大
希望我的回答对你有帮助，采纳吧o(∩_∩)o！

Answer 3

这个不能靠猜，猜不周返亏好全应解如下：
由x²+y²+z²=4
题空掘目(2x-y)²+(2y-z)²+(2z-x)²
=4x²-4xy+y²+4y²漏铅-4yz+z²+4z²-4zx+x²
=5(x²+y²+z²)-4(xy+yz+zx)
=20-4(xy+yz+zx)
又由（x+y+z）²=x²+y²+z²+2zy+2yz+2zx=4+2zy+2yz+2zx
判断20-4(xy+yz+zx)的最大值就是当2zy+2yz+2zx最小，而因为（x+y+z）²最小为0，则2zy+2yz+2zx最小是-4（此时x+y+z=0与x²+y²+z²=4可以同时成立，该步要复算一下）
20-4(xy+yz+zx)最大是20+8=28

Answer 4

解：原式=4X²+y²敏手-4xy+4y²+z²-4yz+4z²+x²-4zx
=5(x²+y²+z²)-4(xy+xz+yz)
∵x²+y²+z²=4
且xy+xz+yz的最小值为0(当x、y、z中任意两个为0时，这个式子的值就为0)
∴最大值=4×5-0=20
这道题目我是错桥培嫌的，楼上的解答很详细中咐，选他的