Question

已知函数f(x)=x^3-ax^2-bx+c在x=-2/3与x=1时都取得极值求a,b的值及函数f(x)的单调区间;

求a,b的值及函数f(x)的单调区间;若对x属于[-1,2),不等式f(x)<c^2恒成立,求c 的取值

Answer 1

（1）函数f(x)=x^3-ax^2-bx+c在x=-2/3与x=1时都取得极值，说明导函数在这两点的函数值为0，由于f'(x)=3x^2-2ax-b，所以有4/3+4/3a-b=0；3-2a-b=0，解得a=1/2 ； b=2 。
（2）f'(x)=3x^2-x-2，当-2/3<x<1时,f(x)单调递减；x<-2/3或x>1时，f(x)单调递增。
（3）x属于[-1,2)时,f(x)<c^2恒成立，只需f(x)在[-1,2)内的最小函数值小于c^2即可，由于f(x)在[-1,2/3)内单调递增，在(-2/3,1)内单调递减，在（1,2）内单调递增，所以只需要f(1)<c^2，f(-1)<c^2即可。
当f(1)<c^2时，c可取任何实数；当f(-1)<c^2时，解得c>(1+根号3)/2或c<(1-根号3)/2，两者取交集得c>(1+根号3)/2或c<(1-根号3)/2。
即c的取值范围为c>(1+根号3)/2或c<(1-根号3)/2

Answer 2

函数f(x)=x^3-ax^2-bx+c在x=-2/3与x=1时都取得极值
说明 这两点函数的导数值都是零
由于f'(x)=3x^2-2ax-b
所以有
4/3+4/3a-b=0
3-2a-b=0
得a=1/2 b=2