Question

已知数列【An】的前n项和为Sn，A1=-3分之2，满足Sn+Sn分之1+2=An（n大于等于2）.计算S1,S2,S3,S4,并猜想Sn

额！怎么各个都那么厉害！？

Answer 1

解：代入可得到s1=-2/3,s2=-3/4,s3=-4/5,s4=-5/6
猜想sn=-（n+1)/(n+2) 代入证明即可
也可以直接用递推求出如下
∵ Sn=S(n-1)+an+1/Sn+2=an
∴ Sn=-1/[S(n-1)+2]
∴Sn+1=[S(n-1)+1]/[S(n-1)+2]
∴1/(Sn+1)=1+1/[S(n-1)+1] n≥2
∴Sn=-(n+1)/(n+2) n≥2
∵a1=-2/3满足Sn=-(n+1)/(n+2)
∴Sn=-(n+1)/(n+2) n∈N+

Answer 2

由Sn+Sn分之1+2=An，即Sn+1/Sn+2=An
变形：1/Sn+2=An-Sn=-S(n-1)
从而有Sn=（-1）/(2+S(n-1))
得：S1=A1=-2/3, S2=-1/(2+S1)=-3/4, S3=-1/(2+S2)=-4/5,S4=-1/(2+S3)=-5/6
猜想：Sn=-(n+1)/(n+2)，
通过数学归纳法可以证明它是成立的。
归纳法证明：（1）当n=1时，即S1=-2/3，显然成立；
（2）假设当n=k时，有Sk=-(k+1)/(k+2)，
则，当n=k+1时，S(k+1)=(-1)/(2+Sk)=(-1)/(2-(k+1)/(k+2))=-(k+2)/(k+3)
从而式子成立；
有归纳假设知，当n=1,2,3……时，有Sn=-(n+1)/(n+2)。

Answer 3

变形：1/Sn+2=An-Sn=-S(n-1)
从而有Sn=（-1）/(2+S(n-1))
得：S1=A1=-2/3, S2=-1/(2+S1)=-3/4, S3=-1/(2+S2)=-4/5,S4=-1/(2+S3)=-5/6
猜想：Sn=-(n+1)/(n+2)，
通过数学归纳法可以证明它是成立的。
归纳法证明：（1）当n=1时，即S1=-2/3，显然成立；
（2）假设当n=k时，有Sk=-(k+1)/(k+2)，
则，当n=k+1时，S(k+1)=(-1)/(2+Sk)=(-1)/(2-(k+1)/(k+2))=-(k+2)/(k+3)
从而式子成立；
有归纳假设知，当n=1,2,3……时，有Sn=-(n+1)/(n+2)。