Question

跳跃间断点和振荡间断点怎么区分？

Answer 1

在高数中,某个间断点一般不是第一类就是第二类.
只需要比较一下函数在该间断点的左右极限就可以了.
如果左极限=右极限则为可去间断点,若不相等则为跳跃间断点；若左右极限中至少有一个为无穷大（不存在）,则为无穷间断点,至于震荡间断点只有正弦函数余弦函数那种形式和一些周期函数（初等函数）.

可去间断点存在左右极限且相等，跳跃间断点存在左右极限但不相等。可去间断点左右极限应趋向于一处，跳跃间断点图像趋向于两处。

可去间断点可以用重新定义Xo处的函数值使新函数成为连续函数，是左极限和右极限存在但是该点没有定义又称为可补间断点。可去间断点就是左极限=右极限，但是不=该点的函数值，或者在该点没有定义。因此，可去间断点是不连续的。如果=f(a), a就是可去间断点。

设函数f(x)在U(Xo)内有定义，Xo是函数f(x)的间断点(使函数不连续的点)，那么如果左极限f(x-)与右极限f(x+)都存在，但f(x-)≠f(x+),则称Xo为f(x)的跳跃间断点，它属于第一间断点。

常见类型：

可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义。如函数y=（x^2-1)/(x-1)在点x=1处。

跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等。如函数y=|x|/x在点x=0处。

无穷间断点：函数在该点可以无定义，且左极限、右极限至少有一个不存在，且函数在该点极限为∞。如函数y=tanx在点x=π/2处。

振荡间断点：函数在该点可以无定义，当自变量趋于该点时，函数值在两个常数间变动无限多次。如函数y=sin(1/x)在x=0处。

可去间断点和跳跃间断点称为第一类间断点（有限型间断点）。其它间断点称为第二类间断点。

Answer 2

极限为常数时,属于第一类且为可去间断点；左右极限存在但不相等时,属于第一类间断点且为跳跃间断点；左右极限至少有一个不存在时,属于第二类；极限趋于无穷时,属于第二类的无穷间断点
极限为常数时,属于第一类且为可去间断点；左右极限存在但不相等时,属于第一类间断点且为跳跃间断点；左右极限至少有一个不存在时,属于第二类；极限趋于无穷时,属于第二类的无穷间断点。

振荡间断点，间断点处的极限振荡不存在的间断点，属于第二类间断点。注意，此处是振荡不存在，并不是极限为无穷，不要混淆。在高等数学的四类间断点中，振荡间断点是最特殊最重要的间断点，因为振荡是唯一的可能存在不定积分（原函数存在定理）的间断点，也是唯一一个可能可积的第二类间断点。

毫无疑问，凡是间断点x0，一定是f(x0)不存在（包括有定义不存在和无定义不存在）或者存在但不在函数上，即间断点x0处的值一定是不存在或者存在且不同时等于该点处左右极限的值的。

一般在中国大陆教材中，间断点x0处可以无定义，但在间断点x0的去心邻域内有定义，即间断点双侧存在定义才会讨论间断点，没有双侧定义不讨论间断，也就是你所学的基本上都不讨论，也不考没有双侧定义的间断，这点要注意。但在国际教材中，比如菲氏《微积分教程》中，存在间断点单侧定义，即同一间断点可以左侧为无穷间断，右侧为跳跃间断。

Answer 3

极限为常数时，属于第一类且为可去间断点；左右极限存在但不相等时，属于第一类间断点且为跳跃间断点；左右极限至少有一个不存在时，属于第二类；极限趋于无穷时，属于第二类的无穷间断点
1、振荡间断点，间断点处的极限振荡不存在的间断点，属于第二类间断点。注意，此处是振荡不存在，并不是极限为无穷，不要混淆。
2、在高等数学的四类间断点中，振荡间断点是最特殊最重要的间断点，因为振荡是唯一的可能存在不定积分（原函数存在定理）的间断点，也是唯一一个可能可积的第二类间断点。
在高数中,某个间断点一般不是第一类就是第二类.
只需要比较一下函数在该间断点的左右极限就可以了.
如果左极限=右极限则为可去间断点,若不相等则为跳跃间断点；若左右极限中至少有一个为无穷大（不存在）,则为无穷间断点,至于震荡间断点只有正弦函数余弦函数那种形式和一些周期函数（初等函数）.

Answer 4

这么理解吧，将1/x看做是变量，那么在sin u这个函数在u→∞时，这个函数的值是在不断摆动的，而由于极限要求是函数值稳定在某一个值附近，所以函数sin 1/x在x→0这一点时值不断变化且函数在x=0点无定义，便成为震荡间断点。
不是很懂好多回答里说的上下极限不同是个什么东西。我只知道第一类间断点左右极限都存在，第二类间断点至少有一方极限不存在。此外，这种间断点与无穷间断点tan x,可去间断点sin x（x≠0），跳跃间断点|x|/x都有很明显的不同，能够区分就可以了

跳跃间断点特点：该点左右极限存在，但是不相等。（你别管函数在这个点有没有意义，反正主要矛盾是左右极限存在但不相等）
可去间断点，该点的左右极限存在且相等，但是函数在该点没有意义

作者：王鸿宇
链接：https://www.zhihu.com/question/284091499/answer/436808977
来源：知乎
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Answer 5

第一类间断点：可去间断点（间断点处左右极限存在且相等），跳跃间断点（间断点处左右极限不相等）
第二类间断点：凡是除去上述2个第一类间断点以外，全部的间断点都是第二类间断点，包括但不仅限于无穷间断点，振荡间断点，单侧定义间断点等等。[3]
四类间断点区别：[4]
左右极限存在且相等的间断点，叫可去间断点。[5]
左右极限存在且不相等的间断点，叫跳跃间断点。
左右极限为无穷的间断点，叫做无穷间断点，其中无穷是个可以解出的答案，但一般视为极限不存在。
左右极限振荡不存在的间断点，叫做振荡间断点，其中振荡是不可以解出的答案，极限完全不存在。
振荡间断点举例说明：[1]
设函数f(x)在U(Xo)内有定义，Xo是函数f(x)的间断点(使函数不连续的点)，那么如果 左极限f(x-)与右极限f(x+)都存在，但f(x-)≠f(x+),则称Xo为f(x)的跳跃间断点，它属于第一间断点。