Question

一道高三文科数学题。导数。

设函数f（x）=x- 1/x 对任意的x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是______。

请写明过程，谢谢、

Answer 1

引用的哈～
显然m≠0， f（mx）=mx-1/mx
＝＞f(mx)+mf(x)=mx-1/mx+m-m/x<0
＝＞2mx<(1+m^2)/m
①m>0时 x<(1+m^2)/m^2 不能满足,对任意x∈[1,∞),f(mx)+mf(x)<0恒成立，故舍去
②m<0时，x>(1+m^2)/m^2 要是不等式成立(1+m^2)/m^2 <1,解得m<-1

解法2：f(mx)+mf(x)=(2*m^2*x^2-m^2-1)/mx 小于0 在x属于1到正无限 恒成立
Δ=8m^2(m^2+1)一定是大于0 的
当m大于0 时候 (2*m^2*x^2-m^2-1)/mx小于0 那么 分子要小于0.
分子是开口朝上的二次函数 并且对称轴在Y轴而且有2个根。
所以他在【1.正无穷)不可能恒小于0
当m小于0的时候 那么要分子大于0
很容易可以知道当分子这个函数x=1的时候大于0时候等式一定成立
。。。。。也就是m^2大于1 m大于1（舍） or m小于负1
综上所述 m小于-1

Answer 2

f(mx)+mf(x)=mx-1/mx+mx-m/x=(2m^2x^2-m^2-1)/mx<0
(1)m≠0，因分母不为0
(2)m>0时，因x≥1>0 mx>0
则2m^2x^2-m^2-1<0
x^2<(m^2+1)/(2m^2)=1/2+1/(2m^2)
对任意的x∈[1，+∞)，
x趋近+∞时，就找不到确定m值与之对应
即上式显然不能恒成立
(3) m<0时 mx<0
则2m^2x^2-m^2-1>0
m^2(2x^2-1)>1
x≥1 x^2≥1故只要满足最小值x=1
其他均可满足 m^2(2*1^2-1)>1
m^2>1
因m<0
则解集m<-1