Question

高中数学不等式竞赛题

解下列不等式：
3·log3（log3x） +log 1/3 [log3（9·³√x）]≥1
我要过程 过程啊~~

参考答案如下：
须使log 3 x ＞0且log3（9·³√x）＞0，解得x＞1.此时原不等式化为（log3x + 2）（log3x - 3）/（log3x + 6）≥0，即 -6 ＜log3x≤-2或log3x≥3.原不等式的解为x≥27

求解释

Answer 1

解下列不等式：3·log₃(log₃x) +log ‹1/3› [log₃(9·³√x）]≥1
解：3·log₃(log₃x) +log ‹1/3›[log₃9+log₃∛x]≥1
3·log₃(log₃x) +log ‹1/3›[2+(1/3)log₃x]≥1
3log‹1/3›[1/log₃x]+log‹1/3›[2+(1/3)log₃x]≥1【这里是把第一个对数的底数和真数都取倒数】
log‹1/3›{[1/log₃x]³[2+(1/3)log₃x]}≥1
故0<[1/log₃x]³[2+(1/3)log₃x]≤1/3
0<[2/(log₃x)³]+1/[3(log₃x)²]≤1/3
0<(6+log₃x)/[3(log₃x)³≤1/3
(log₃x)³/(6+log₃x)≥1【两边同乘以3去掉分母上的3，然后分子分母颠倒并不等号反向】
(log₃x)³/(6+log₃x)-1≥0
[(log₃x)³-log₃x-6]/(6+log₃x]=[(log₃x-2)(log²₃x+2log₃x+3)]/(6+log₃x)≥0
由于log²₃x+2log₃x+3=[(log₃x)+1]²+2≥2>0，故有
[(log₃x)-2]/(6+log₃x)≥0
于是得log₃x≥2或6+log₃x<0即log₃x<-6
故得x≥9或0<x<3⁻⁶=1/729
【答案错在：（log₃x + 2）（log₃x - 3）/（log₃x + 6）≥0
分子是(log₃x)³-log₃x-6=[(log₃x-2)((log²₃x+2log₃x+3)≠(log₃x +2)(log₃x-3）】

追问

最后0＜x＜1/729要舍，因为log3x＞0

Answer 2

答案不应该是x≥27啊，我们来设log3（x）=y，那么有
3·log3（log3x） +log 1/3 [log3（9·³√x）]
=3log3（y）+log 1/3 [2+log3（x^（1/3)）]
=3log3（y）-log3（2+y/3）
=log3[y^3/（2+y/3）]
≥1所以得到
y^3/（2+y/3）≥3那么有
y^3-y-6≥0推出
(y^3-2y^2)+(2y^2-y-6)
=y^2(y-2)+(2y+3)(y-2)
=(y-2)(y^2+2y+3)
≥0解得
y≥2即log3（x）≥2
所以x≥3^2=9

追问

我把书本上的答案发了一下，请问你可以帮我解释一下哪里有错误么？

追答

参考答案如下：
须使log 3 x ＞0且log3（9·³√x）＞0，解得x＞1.此时原不等式化为（log3x + 2）（log3x - 3）/（log3x + 6）≥0，即 -6 ＜log3x≤-2或log3x≥3.原不等式的解为x≥27

上面是你的参考答案，其实它的解法并没有错，只是化简处出了问题，3·log3（log3x） +log 1/3 [log3（9·³√x）]我们最后化简得到的是
(y-2)(y^2+2y+3)≥0即
（log3x-2)(log^23(x）+2y+3)≥0
而并非答案上的这个，你可以将答案乘开，容易看出，他们并非相等，希望对你有帮助

Answer 3

x》9

Answer 4

x》9