Question

如果抛物线y=-x^2+2（m-1）x+m+1与x轴交于A、B两点，且点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴。详细看下面

如果抛物线y=-x^2+2（m-1）x+m+1与x轴交于A、B两点，且点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，OA=a，OB=b。
【1】求m的取值范围
【2】若a：b=3：1，求m的值，并写出此时抛物线的解析式
【3】设【2】中的抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点是M，则此时抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于△BCM面积的8倍？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）根据两根之积小于0及根的判别式大于0得到m的取值．
（2）利用比值设出点A，B的坐标，利用根与系数的关系求解m，进而求得抛物线解析式．
（3）应先求得△BCM面积，进而求得△BCM面积的8倍．易求得AB的长，设P的纵坐标为y，那么△PAB的面积=
12
×AB×|PY|纵坐标的绝对值．
解：（1）设A，B两点的坐标分别是（x1，0）、（x2，0），
∵A，B两点在原点的两侧，
∴x1x2＜0，即-（m+1）＜0，
解得m＞-1．
∵△=[2（m-1）]2-4×（-1）×（m+1）
=4m2-4m+8
=4×（m-12）2+7
当m＞-1时，△＞0，
∴m的取值范围是m＞-1；

（2）∵a：b=3：1，设a=3k，b=k（k＞0），
则x1=3k，x2=-k，
∴3k-k=2(m-1)3k•(-k)=-(m+1)，
解得m1=2，m2=13．
∵m=13时，x1+x2=-43
（不合题意，舍去），
∴m=2，
∴抛物线的解析式是y=-x2+2x+3；

（3）易求抛物线y=-x2+2x+3与x轴的两个交点坐标是A（3，0），B（-1，0）
与y轴交点坐标是C（0，3），顶点坐标是M（1，4）．
设直线BM的解析式为y=px+q，
则4=p•1+q0=p•(-1)+q．
解得p=2q=2．
∴直线BM的解析式是y=2x+2．

设直线BM与y轴交于N，则N点坐标是（0，2），
∴S△BCM=S△BCN+S△MNC
=12×1×1+12×1×1
=1
设P点坐标是（x，y），
∵S△ABP=8S△BCM，
∴12×AB×|y|=8×1．
即1×4×|y|=8．
∴|y|=4．
∴y=±4．
当y=4时，P点与M点重合，即P（1，4），
当y=-4时，-4=-x2+2x+3，
解得x=1±2√2．
∴满足条件的P点存在．
P点坐标是（1+2√2，-4）（1-2√2，-4）

Answer 2

设f(x)=-x^2+2（m-1）x+m+1
如题意得f(0)>0,解得m>-1

a,-b是f(x)=0的两根
2（m-1）=a-b
-(m+1)=-ab
a:b=3:1
解以上三个方程可得m=2或m=1/3(舍去)
解析式为y=-x^2+2x+3

C(0,3) M(1,4)
求得S△PAB=1
S△BCM=8，AB=4
可知|y(p)|=4
解f(x)=4或-4得x=1(舍去),1+2√2,1-2√2
P存在，坐标（1+2√2，-4）（1-2√2，-4）