Question

【线性代数】证明:（AB）*＝B*A*

Answer 1

线性代数中通常只涉及到A,B都可逆的情形.这时证明比较简单.而当A,B不可逆时
要用到多项式恒等的理论,通过构造可逆矩阵来证明,这通常是数学专业学习高等代数时要证明的.
证明：
（1）A,B都可逆时
(AB)*=|AB|(AB)^-1=|A||B|B^-1A^-1=B*A*.
（2）若A,B不可逆,令 A(x)=A+xE,B(x)=B+xE当x充分大时,A(x),B(x)都可逆
故 (A(x)B(x))*=B(x)*A(x)*.
上式两端矩阵中的元素都是关于x的多项式
所以对应元素是相等的多项式
即对任意的x成立
特别取 x=0 即得 (AB)*=B*A*.