Question

无理数的平方一定是无理数吗?

Answer 1

无理数的平方不一定是无理数。例如：根号2是无理数，但是（根号2）的平方等于2，这个2就是有理数。无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。若写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。

常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现。

无理数不能写成两整数之比。

利用有理数和无理数的主要区别，可以证明√2是无理数。

下面给出欧几里得《几何原本》中的证明方法：

证明：假设√2不是无理数，而是有理数。既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：√2=p/q。

再假设p和q没有公因数可以约，所以可以认为p/q 为最简分数，即最简分数形式。

把 √2=p/q 两边平方得 2=(p^2)/(q^2)，即 2(q^2)=p^2，由于2(q^2)是偶数，p 必定为偶数，因此可设p=2s，由 2(q^2)=4(s^2) 得 q^2=2s^2。由于2s²是偶数，同理q²是偶数，而只有偶数的平方才是偶数，所以q必然也为偶数。

既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q是最简分数矛盾. 这个矛盾是由假设√2是有理数引起的. 因此√2是无理数。