Question

已知函数f(x)=a^x+(x-2)/(x+1) ,(a＞1）用反证法证明方程f(x)=0没有负数根

Answer 1

假设f（x）=0有负数根
那么存在x＜0，使a^x+(x-2)/(x+1)=0
a^x=-(x-2)/(x+1）
左边0＜a^x＜1
∴0＜-(x-2)/(x+1）＜1
解得1/2＜x＜2
这与假设矛盾
所以f(X)=0时没有负数根

Answer 2

易知定义域为{x|x<-1或者-1<x}
假设有负根x，则a^x+(x-2)/(x+1)=0,并且{x|x<-1或者-1<x<0}
（1）当x<-1时，因为a^x>0且(x-2)/(x+1)>0
故a^x+(x-2)/(x+1)>0
与a^x+(x-2)/(x+1)=0矛盾
（2）当-1<x<0时，由于f(x)在区间（-1，+无穷）上递增
所以f(x)<f(0)
而f(0)=-1
所以f(x)<0即a^x+(x-2)/(x+1)>0
与a^x+(x-2)/(x+1)=0矛盾
综上知方程f(x)=0没有负数根