Question

已知p^3+q^3=2，求证p+q<=2

用反证法

Answer 1

如果p+q>2, 由立方和公式：p^3+q^3=(p+q)(p^2-pq+q^2)=2
所以必有 p^2-pq+q^2<1.
又因为 1>p^2-pq+q^2=(p+q)^2-3pq>4-3pq，即 1>4-3pq, 所以pq>1.
由均值不等式：p^2+q^2>=2pq, 所以 p^2-pq+q^2>=pq. 因此
p^3+q^3
=(p+q)(p^2-pq+q^2)
>=(p+q)(pq) (p+q>2,pq>1)
>2
这与p^3+q^3=2 矛盾，因此假设不成立，从而 p+q<=2

Answer 2

若p＋q>2，则p>2－q，所以p³>(2－q)³=8－12q＋6q²－q³，即2=p³＋q³>8－12q＋q²，
6q²－12q＋6<0，即6(q－1)²<0。矛盾，从而假设不成立，即p＋q≤2。

Answer 3

假设p+q>2 则 p^3+q^3=(p+q)(p^2-pq+q^2)=(p+q)^3-3(p+q)[(p+q)^2-(p-q)^2]/4
= (p+q)^3/4+3(p-q)^2(p+q)/4>8/4=2 与已知矛盾 ，所以 假设不成立， 原结论正确。