Question

如图1，点C,B分别为抛物线C1:y1=x2+1，抛物线C2：y2=a2x2+b2x+c2的顶点，分别过点

Answer 1

解：（1）如图，连接AC、BC，设直线AB交y轴于点E，
∵AB∥x轴，CD∥x轴，C、B为抛物线C1、C2的顶点，
∴AC=BC，BC=BD，
∵AB=BD，
∴AC=BC=AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACE=30°，
设AE=m，
则CE=
3
AE=
3
m，
∵y1=x2+1，
∴点C的坐标为（0，1），
∴点A的坐标为（-m，1+
3
m），
∵点A在抛物线C1上，
∴（-m）2+1=1+
3
m，
整理得m2-
3
m=0，
解得m1=
3
，m2=0（舍去），
∴点A的坐标为（-
3
，4）；

（2）如图2，连接AC、BC，过点C作CE⊥AB于点E，
设抛物线y1=2x2+b1x+c1=2（x-h1）2+k1，
∴点C的坐标为（h1，k1），
设AE=m，
∴CE=
3
m，
∴点A的坐标为（h1-m，k1+
3
m），
∵点A在抛物线y1=2（x-h1）2+k1上，
∴2（h1-m-h1）2+k1=k1+
3
m，
整理得，2m2=
3
m，
解得m1=

3

2
，m2=0（舍去），
由（1）同理可得，CD=BD=BC=AB，
∵AB=2AE=
3
，
∴CD=
3
，
即CD的长为
3
，
根据题意得，CE=

3

2
BC=

3

2
×
3
=
3
2
，
∴点B的坐标为（h1+

3

2
，k1+
3
2
），
又∵点B是抛物线C2的顶点，
∴y2=a2（x-h1-

3

2
）2+k1+
3
2
，
∵抛物线C2过点C（h1，k1），
∴a2（h1-h1-

3

2
）2+k1+
3
2
=k1，
整理得
3
4
a2=-
3
2
，
解得a2=-2，
即a2的值为-2；

（3）根据（2）的结论，a2=-a1，

1
2
CD=-
b2
2a2
-（-
b1
2a1
）=
b2
2a1
+
b1
2a1
=
b1+b2
2a1
，
根据（1）（2）的求解，CD=2×

3

a1
，
∴b1+b2=2
3
．