Question

已知复数|z|=1，求|(z-2)(z+1)^2|的最大值。 求大师解题！

如标题

Answer 1

设z=a+bi，则由|z|=1，有a^2+b^2=1
(z-2)(z+1)^2
=(a-2+bi)(a+1+bi)^2
=(a-2+bi)(a^2+2a+1-b^2+2abi+2bi)
=a^3+2a^2+a-ab^2+2a^2bi+2abi-2a^2-4a-2+2b^2-4abi-4bi+a^2bi+2abi+bi-b^3i-2ab^2-2b^2
=a^3-3ab^2-3a-2+(3a^2b-3b-b^3)i
=a^3-3a(1-a^2)-3a-2+[3b(a^2-1)-b^3]i
=4a^3-6a-2-4b^3*i
|(z-2)(z+1)^2|^2
=(4a^3-6a-2)^2+16b^6
=16a^6+16b^6+36a^2+4-48a^4-16a^3+24a
=16(a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4)-48a^4-16a^3+36a^2+24a+4
=16[(a^2+b^2)^2-3a^2b^2]-48a^4-16a^3+36a^2+24a+4
=16[1-3a^2(1-a^2)]-48a^4-16a^3+36a^2+24a+4
=16-48a^2+48a^4-48a^4-16a^3+36a^2+24a+4
=-16a^3-12a^2+24a+20
=-4(4a^3+3a^2-6a-5)
=-4(a+1)^2*(4a-5)
=(2a+2)^2*(5-4a)
<=[(2a+2+2a+2+5-4a)/3]^3
=27，当且仅当2a+2=5-4a，a=1/2时，等号成立
所以|(z-2)(z+1)^2|的最大值为3√3，此时z=1/2±√3i/2

Answer 2

设z=cosα+isinα，α∈[0,2π）。
代入化简，转化为三角函数问题，求最值。