Question

已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是BD延长线上的点，三角形ACE是等边三角形。

（1）求证：四边形ABCD是菱形。（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形

Answer 1

（1）∵是平行四边形
∴AO=CO
∵三角形ACE是等边三角形
∴AE=CE
∴OE垂直平分AC
∴AD=CD
则四边形ABCD是菱形
（2）∵三角形ACE是等边三角形
∴∠AED=1/2∠AEC=30°
∴∠EAD=15°
∠ADO=∠AED+∠EAD=45°
∵是菱形
∴∠ADC=2∠ADO=90°
则为正方形

Answer 2

第一问也可以这样答：∵△ACE是等边三角形
∴AE=CE
∵ABCD是平行四边形
∴AO=CO
∴OE是△ACE的中线
∴OE又是△ACE的高（三线合一）
∴∠EOA=∠EOC=90°
∴AC与BD互相垂直
∴四边形ABCD是菱形

Answer 3

(1)在平行四边形ABCD中,AO=OC,故OE是三角形AEC的中线,由三线合一得OE也为三角形AEC的垂线,故OD垂直于

Answer 4

因为四边形ABCD为平行四边形
所以A0=0C
所以OE是△ACE的中垂线
因此AD=DC
（中垂线上点到线段两段距离相等）
所以为菱形
2、因为角AEC=60°
所以角AED=30°
角EAD=15°
所以角ADB=45°=角CDB（因为是菱形嘛……）
所以角ADC=90°
又因为是菱形，所以都是90°
所以是正方形

Answer 5

证明：因为四边形ABCD为平行四边形，

所以AO=OC，

又因为△AEC为等边△，

所以AE=CE，

因为AO=OC，

所以OE平分∠AEC，且OE⊥AC，

则∠AEO=∠CEO，

又因为DE=DE，

所以AD=DC，

又因为四边形ABCD为平行四边形，

所以四边形ABCD为菱形。

（2)解：因为第一问已证得：∠AEO=∠CEO=1/2∠AEC=1/2*60°=30°，

又因为∠AED=2∠EAD，

所以∠EAD=30°/2=15°，

所以∠ADB=30°+15°=45°，

又因为四边形ABCD为菱形，

所以∠CDB=∠ADB=45°，

所以∠ADC=45°*2=90°，

所以四边形ABCD为正方形。